主成分分析（PCA）是现代数据分析的主要方法之一，它被广泛使用但其内在机制仍不为太多人理解。这篇文章的主旨就是厘清并解释其原理。这篇教程不仅能帮助建立起对 PCA 原理的直觉理解，还希望能够澄清其内在的数学原理。因此，这是一篇同时用通俗语言与数学语言解释 PCA 的教程。希望不同层次的读者，都能通过本文获得对 PCA 的原理和应用更好的理解。
1. 概述
主成分分析（PCA）曾被称为应用线性代数领域中最有价值的结论。PCA 被广泛应用于多种形式的分析中，从神经科学到计算机视觉，因为它是一个足够简单的非参数方法，并能够从复杂的数据集中提取出最相关的信息。PCA 方法本身，可以再无需其他处理的情况下，将一个复杂数据集降至更低维度，以揭示其潜在的单纯的规律。
下面我们先从一个简单的例子开始，从直觉上解释下 PCA 的目的。
2. 一个简单的例子
假设我们现在是一名实验员，需要通过实验观测的数据，发现系统中的一些现象。实验的形式如下图示（Figure 1），一个无质量无摩擦的振动的弹簧。
我们的观测方式，是在弹簧周围放置了三个摄影机 a，b，c。学过物理的同学都知道，假设弹簧振动的轴是 x 的话，那么弹簧的振动公式一定可以由 x 以及时间 t 的组合表示出来。换句话说，系统潜在的规律可以由一个单变量 x 表达。那么，现在的问题在于，我们如何将摄影机 a，b，c 得到的数据，转换成 x 的表达式呢？
之所以面临这个问题，是因为 a，b，c 三个摄影机并不一定是按三位空间的 x，y，z 轴排列的，可能是任何的轴，三个摄影机也不一定是 90 度的夹角。并且在真实的实验数据中，我们还会遇到“噪音”（noise），使得得到的数据集并不完美。因此我们需要想办法解决这些问题，通过主成分分析的方法最终得到 x。
3. 基变换
主成分分析通过找到最优的基（basis）来重新表达一个有噪音的不完美的数据集。这些新的基可以过滤噪音，并揭示一些潜在的规律。在我们的例子中，我们希望通过 PCA 来揭示：x 轴的基 $x$ 才是表达系统最重要的维度。
3.1 一个朴素的基
对于一个数据集来说，测量（measurement）类型的数目，通常微微数据集的维度。在我们的例子里，每个摄像机提供一个 2 维的图像，因此一共有 6 个维度。通常来讲，每个数据点（data sample）都是一个 m 维的向量，m 就是整个数据集的维度。每个数据点代表的向量都存在于一个 m 维的向量空间中，而每个向量都是由一组单位长度的正交规范（orthonormal）的基向量的线性变换而成。比如一个最简单朴素的基B$就是单位矩阵 $I$：
B$的每一行就是一个基向量 $b_{i}$。
回到我们的例子，每个数据点可以表示成下面这样：
其中每个值其实都是 $B$中基的系数。
3.2 基变换
PCA 中进行所谓基变换的目的，主要在于找到一组更好的基，能够由原本的基通过线性变换表示出来。
上面一句话中有一个需要注意的词：线性（linear）。这其实是 PCA 的一个重要的假设，它极大地简化了问题，具体地讲：（1）线性的假设限制了可能的基的数量；（2）迎合了数据集连续性（continuity）的假设。
注：复杂的系统通常都是非线性的，并且他们最显著的特征通常更是系统非线性的产物。但局部的线性近似通常已经是足够好的近似。
现在我们有了 PCA 只是利用对基向量的线性组合，来重新表达数据集的假设后，可以进一步添加一些数学说明。假设 $X$ 和 $Y$ 是 $m*n$ 的矩阵，并可通过矩阵 $P$ 变换得到。$X$ 作为原始数据集，$Y$作为重新表达后的数据集。
式 1：
$$PX = Y$$
同时再做以下的定义：
- $p_{i}$ 是 $P$ 的行（row）；
- $x_{i}$ 是 $X$ 的列（column）；
- $y_{i}$ 是 $Y$ 的列（column）。
式（1）代表的就是基变换。可以理解为：矩阵 $P$ 通过空间旋转和拉伸的方式，转换 $X$ 到 $Y$。或也可以理解为：$P$ 的行向量，是表达 $X$ 的新的基向量。后一种表达方式可以展开为：
这种表达方式，可以进一步理解为：$y_{i}$ 是在新基 $P$ 上的投影。
3.3 仍待解决的问题
前面通过假设“线性”，我们将问题归纳为了 找到合适的“基变换”。上面提到的 ${p_{1},…,p_{m}}$ 其实就是我们要找的X$的主成分。那么剩下的问题就是如何找到 $P$？以及我们想让Y$呈现什么样的特性？要回答这些问题，我们需要作出“线性”之外的更多的假设。
4. 引入方差
之前我们讲到了数据集可能存在噪声，事实上在一个线性的系统里，最大的两个问题中，一个是噪声，另一个是冗余（redundancy）。
4.1 噪声
低噪声是任何数据分析的前提。噪声没有一个通用的测量标准，通常可以用信噪比（SNR）来表示数据的噪声大小。
$$SNR = \frac{\sigma^{2}{signal}}{\sigma^{2}{noise}}$$
加入我们将某一个摄像机得到的数据可视化，多半会是如下图样，其中噪音的存在导致了分布的“椭圆”形，如果是毫无噪音的数据集，将会是一条直线。
4.2 冗余性
冗余性比较不大好处理，在我们弹簧的例子中，如果摄像机设置的不合理就会造成很大的冗余。下图是冗余性的分布示例：
在最右的分布里，可以看出两个特征是完全相关（correlated）的，因此存在极大的冗余性，而最左边的分布中，两个特征完全没有可辨别的相关性，则完全不存在冗余。
在实际数据集中，冗余通常表现在比如 A、B 两个特征都是某个长度，只是由不同单位表示；或两个特征都体现用户的购买力等等。这种情况下，都需要通过 feature engineering 减少特征的数量。
4.3 协方差矩阵
从上一节可以看到，SNR 完全是由方差计算 得到的。一个简单的得到数据集冗余成都的方式，就是计算整个数据集的“方差”，也就是协方差。
假设有两个特征 A 和 B：
$$A = {a_{1}, … a_{n}} , B = {b_{1}, … b_{n}}$$
那么 A 和 B 的协方差就是 ：
$$cov(A, B) = <a_{i}b_{i}>_{i}$$
注：$<·>{i}$表示以i$为索引的平均值。_
- 如果 $cov(A, B) = 0$，那么 A 与 B 则完全不相关；
- 如果 $cov(A, B) = \sigma_{A}$，那么 A 与 B 完全一致。
接下来可以假设一个数据集，以矩阵X$的形式表现。那么下面的式子就很值得探讨了：
$$S_{X} = \frac{1}{n-1} XX^{T}$$
$XX^{T}$ 这个表达式非常有意思，仔细想一想就会发现，它的第 $ij$ 个元素，就是 $X$ 的第 $i$ 个特征与第 $j$ 个特征的点积（dot product）。而 $S_{X}$ 这个 $m*m$ 的矩阵，其对角线上的元素，是每个特征的方差，而非对角线的元素，是每两个特征的协方差。因此 $S_{X}$
也称为“协方差矩阵”。
承接之前的结论，要消除数据集的冗余，需要特征间的协方差尽可能小。因此，理想的协方差矩阵会是一个对角矩阵（diagonal matrix），也就是除了对角线上的元素其他都是 0 的矩阵。所以 PCA 要做的事情就是对角化（diagonalize）。
4.4 对角化
对角化有很多种实现方式，其中 PCA 选择的可能是最简单的方式。还记得我们把基变换中的新基命名为P$吗，PCA 假设 $P$ 首先是正交规范的，其次，PCA 假设使方差最大的轴，就是最重要的轴。为什么说这两个假设使得对角化简单呢，我们可以具象一下 PCA 的工作原理。
PCA 首先会在m$维的空间里选择一个方向（或者说轴）使得X$的方差最大；然后根据正交规范的假设，PCA 只会在于第一个方向正交规范的情况下，选择第二个方向使得方差最大。然后一直重复直到m$个方向都被选出来了。这样的好处是使得整个解法都是可用线性代数的。
5. 解法 1：协方差的特征向量
这个解法是基于“特征向量分解”的。假设数据集是X$，是一个m*n$的矩阵。其中m$是特征数量，n$是数据集大小。目标如下：
找到一个正交规范的矩阵P$，使得 $S_{Y} = \frac{1}{n-1} YY^{T}$ 是对角化的，其中 $Y = PX$。而 $P$ 的行就是 $X$ 的主成分（principle component）。
推演过程如下：
注意我们定义了一个新的矩阵 $A = XX_{T}$，为了运算方便。可以看出A$明显是个对称矩阵。下面就是奇迹发生的时刻了，也就是引入特征向量分解的时候。对于任何一个对称矩阵，都有：
$$A = EDE_{T}$$
其中 $D$ 是一个对角矩阵，而E$是A$的特征向量作为列向量组成的矩阵。那我们可以用这样的方式选择P$：让P$的每一行（注意不是列）都是 $XX_{T}$ 的特征向量，带回到上面的式子里，就能推出：
所以呢，可以得出的 2 个结论是：
- $X$ 的主成分，就是 $XX_{T}$ 的特征向量，也就是 $P$ 的行向量。
- $S_{Y}$ 的第 $i$ 个对角线元素，就是 $X$ 在 $p_{i}$ 上的方差。
本文先到这里就结束了，下一篇文章会详细地介绍下另一种更通用的解法：奇异值分解（SVD）。
大致译自此篇论文，也非常建议英语好的大家直接读原版。
以上